METODI MATEMATICI DELLA FISICA


Docente: prof. Luca G. Molinari


Laurea triennale, indirizzo generale, II anno, II semestre, 7CFU
40 ore lezione (prof. Luca G. Molinari) + 20 ore esercitazioni (prof. Guido Fratesi)


Il corso mira a fornire conoscenze di base di metodo e rigore matematico, tecniche utili e qualche applicazione negli ambiti:
analisi complessa, spazi di Hilbert e operatori lineari, serie e trasformata di Fourier, distribuzioni.
Il corso e' parallelo ai corsi dei prof. Mario Raciti e Alessio Zaccone (con orari diversi)



Orario a.a. 2019/20 (corso Molinari):


LUNEDI aula B ore 10:30 - 12:30
MERCOLEDI aula B ore 10:30 - 12:30
VENERDI aula B ore 10.30 - 11:30

LA PRIMA LEZIONE E' LUNEDI 16 MARZO 2020, collegandosi a aula B
proseguiranno con orario normale alternandosi a esercitazioni.

Tutor: Dr. Vittorio Erba (Vittorio.Erba@unimi.it)
Il docente Molinari e il Dr. Guido Fratesi ricevono su appuntamento (luca.molinari@unimi.it, guido.fratesi@unimi.it)



AVVISI:


LE LEZIONI DEL CORSO SEGUIRANNO ABBASTANZA FEDELMENTE IL PROGRAMMA DEL 2019 (vedi sotto il registro delle lezioni 2019) CON RIFERIMENTO ALLE DISPENSE DI L.G.MOLINARI. IL LIBRO DI BAK-NEWMAN (scaricabile online) PUO` ESSERE UN UTILE COMPLEMENTO PER APPROFONDIMENTO DELL'ANALISI COMPLESSA.
Collegatevi al sito ARIEL per aggiornamenti sulle lezioni.
Per favorire una equilibrata suddivisione degli studenti sui corsi A/B/C,
si suggerisce il seguente criterio per lettere del cognome:
da AAA a DEA corso A
da DEL a REG corso B
da RIG a ZZZ corso C.
NB: la suddivisione per lettera non e' vincolante ma solo consigliata.



Testo: L.G.Molinari, "Mathematical Methods for Physics", Dispense CUSL; Edizione online 14 july 2020 (aggiornamento, lievi modifiche e correzioni,bookmarks)


Carlo Presilla, Elementi di analisi complessa (Springer Unitext 72)

Bak e Newman, Complex analysis (Springer, 2010)

Ph.Blanchard e E.Bruning, Mathematical Methods in Physics (Springer, 2015)

Phil Dyke, An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series



APPELLI D'ESAME (controllare data e orario!)


giugno

luglio

settembre

settembre

gennaio

febbraio

(CONTROLLARE le date per possibili variazioni e iscriversi per tempo al SIFA.)


TESTI PROVE SCRITTE


23 giu 2010; 06 lug 2010; 19 lug 2010; 09 set 2010; 22 set 2010; 15 feb 2011.
22 giu 2011; 05 lug 2011; 18 lug 2011;
13 sett 2011; 27 sett 2011; 17 genn 2012; 10 febb 2012.
14 giu 2012; 26 giu 2012; 16 lug 2012; 12 set 2012; 08 feb 2013.
21 giu 2013; 03 lug 2013; 11 set 2013; 29 gen 2014; 18 feb 2014;
20 giu 2014; 07 lug 2014; 22 lug 2014; 15 set 2014; 29 gen 2015; 18 feb 2015;
24 giu 2015; 08 lug 2015; 21 lug 2015; 14 set 2015; 27 gen 2016; 10 feb 2016;
18 apr 2016; 24 giu 2016; 08 lug 2016; 21 lug 2016; 13 set 2016; 30 gen 2017; 20 feb 2017.
26 apr 2017; 27 giu 2017; 19 lug 2017; 11 set 2017; 26 set 2017; 29 gen 2018; 21 feb 2018.
20 giu 2018, 04 lug 2018, 19 lug 2018, 26 set 2018, 29 gen 2019, 19 feb 2019.
19 giu 2019, 19 lug 2019, 10 set 2019, 23 set 2019. 30 gen 2020, esiti 30 genn 2020.
Si danno le soluzioni di alcuni test
30 gen 2017, 20 feb 2017, 27 giu 2017, 19 lug 2017, 11 set 2017, 26 set 2017,
29 gen 2018, 21 feb 2018, 20 giu 2018, 07 lug 2018, 19 lug 2018, 26 set 2018,
29 gen 2019, 19 feb 2019. 19 giu 2019, 19 lug 2019. 10 set 2019, 23 set 2019.


esercizi sui numeri complessi
esercizi di integrazione complessa
esercizi sulle serie
Per chi desidera approfondire con esercizi alcuni argomenti di analisi funzionale (non sono pertanto modelli di temi d'esame):
10 esercizi di analisi funzionale


REGISTRO LEZIONI 2019


28.02.2019: Il campo C, coniugazione complessa, modulo, disuguaglianza triangolare, circonferenza unitaria, formula di De Moivre
04.03.2019: forma polare di z, arg e Arg, esponenziale, mappa w=exp(z) dalla striscia a C, log e Log, mappa lineare, inversione, punto all'infinito.
06.03.2019: trasformazione di Mobius e matrici 2x2; fattorizzazione; esempi (mappa da H a D) e f(z)=iz/(z-3). Aperto in C, successioni continue e di Cauchy, completezza di C. Funzione olomorfa e condizioni di Cauchy-Riemann; derivata di exp(z).
11.03.2019: Le funzioni olomorfe non dipendono da z*. Derivata di log z. Regole di derivazione. Polinomi e formula inverso di polinomio. Sh(z), Ch(z), zeri di Ch(z). Curve differenziabili con continuita` in C. Significato geometrico di derivata e mappe conformi. Potenziale logaritmico.
13.03.2019 Esercizitazioni: esercizi su operazioni di base sui numeri complessi. Potenze non intere. Logaritmi. Zeri di funzioni iperboliche (coshz^2). Esercizio su mappa di inversione. Mappa di Mobius da (z1,z2,z3) a (w1,w2,w3) e esercizio.
14.03.2019: Campo elettrico complesso. Potenziale del piano e mappa w=z^2, w=z^(2/3). Filo e piano con carica immagine e mappa z=w^(2/3)
18.03.2019: Integrale complesso, esempi, disuguaglianze, primitiva, teorema della primitiva, trasformata di Cauchy.
20.03.2019 Esercitazioni: esercizi su mappa di Mobius. Applicazione a elettrostatica: filo davanti a cilindro. Esempi di funzioni olomorfe e ricostruzione Im(f) da Re(f). Esempio di integrale dalla definizione. Joukowsky (cenno).
21.03.2019: integrale di z^n, n in Z, su cammini chiusi. Funzione indice. Esempi di integrali di p(z)^{-1}.
25.03.2019: integrale del rettangolo di funzione olomorfa, estensione a funzione olomorfa salvo puni in cui e' continua, costruzione della primitiva. Trasformata di Fourier della Gaussiana. Integrali di Fresnel. Formula integrale di Cauchy. Teorema della media.
27.03.2019: una funzione olomorfa e` C-infinito nel rettangolo. Derivata n-esima e integrale di Cauchy. Teorema di Liouville e teorema dell'algebra. Integrale di Fourier della Lorentziana.
28.03.2019: Costruzione di Artin e teorema di Dixon per l'integrale chiuso di funzione olomorfa. Serie, prodotto di Cauchy, serie geometrica, exp e Riemann.
01.04.2019 Esercitazioni: Esempi di integrali di polinomi e trigonometrici con la formula di Cauchy per funzioni olomorfe. Massimo di |f(z)|.
03.04.2019: convergenza uniforme di serie, criterio di Weierstrass, integrale, serie di potenze, teorema di Abel-Weierstrass, raggio di convergenza, serie e serie derivata, serie di potenze di funzione olomorfa. Esempi: 1/(1+z^2), exp(zt)/(1-z).
04.04.2019: studio funzione generatrice polinomi di Chebychev, zeri di funzione olomorfa.
08.04.2019: Serie e teorema di Laurent. Funzioni generatrice e integrale di Bessel. Esempi di calcolo PP, Gamma (x), Beta (x,y), sviluppo di Stirling.
11.04.2019: singolarita` isolate, residui di poli, teorema dei residui.
12.04.2019 Esercitazioni: esercizio su serie di funzioni, sviluppi in serie di potenze. Uso delle derivate della serie geometrica. Sviluppi in serie di Laurent. Sviluppo di 1/(z^3-1) in diversi domini. Uso di sviluppi noti.
15.04.2019: prolungamento analitico. Gamma (z). Lemma di Jordan, integrali: \int_R sin(x)/x^2-x+1, \int_R+ dx x^{2/5}/(x^2+1). Spazi pre-Hilbertiani.
17.04.2019 Esercitazioni: Esercizi su serie di Laurent utilizzando sviluppi noti. Singolarita' essenziale sin(1/z). Integrali con il metodo dei residui per rapporti di polinomi e contenenti funzioni trigonometriche.
29.04.2019: Disuguaglianze di Bessel e Schwarz. Norma hilbertiana. Spazi L_p. Lo spazio ell_2(C): completezza e separabilita`. Isomorfismo unitario.
02.05.2019: Esistenza e unicita' della proiezione, teorema della proiezione. Somma ortogonale. Proiettore (linearita', idempotenza, limitatezza, espressione data base ortonormale di M).
06.05.2019: operatori lineari limitati su spazi normati. Operatore lineare continuo sse limitato. Lo spazio di Banach B(X,X'). L'algebra B(X), esponenziale di operatore. Teorema di Riesz. Aggiunto di un operatore limitato.
08.05.2019 Esercitazioni: Integrali di funzioni con taglio (keyhole e altri cammini), polinomi su intervallo 0-infinito x log(z); funzioni iperboliche.
09.05.2019: Proprieta` aggiunzione. Aggiunto di op. non limitato. Op. autoaggiunto. Proiettore. Moltiplicazione per funz. caratteristica. X in L^2[a,b]. Es.3 del 29/01/19.
13.05.2019: sonc, teorema di Parseval. Serie di Fourier, nucleo di Dirichlet e di Fejer (cenni), sviluppo di x, condizione sufficiente per convergenza puntuale.
15.05.2019 esercitazioni: Polinomi di Legendre: sviluppo di 1/|r-R|; generatrice; relazione di ricorrenza (cenni); eq. differenziale risolta da sviluppo in serie; ortonormalizzazione di 1,x,x^2. Approssimazione di cos(x) su [-1,1]. Proiettore su un piano in R3.
16.05.2019: ker(A) e ran(A+). Operatori unitari, exp(-itH), esponenziale di matrice, teorema xdi Stone (cenno).
20.05.2019: lo spazio S(R). Continuita` di Q, P, F. Esercizio: operatore (Tu)_k=u_{k+1}+u_k su l^2(C) (norma, aggiunto, spettro). Cenni a SO(3) (angolo e vettore invariante).
22.05.2019 esercitazioni: somma e prodotto di proiettori. Proiettore sulla parte pari e dispari di f(x). Sviluppi in serie di Fourier e deduzione di somme notevoli: exp(-ax) in [-1,1]; sin(x) in [0,pi]; |x|-x in [-1/2,1/2]. Sviluppo su periodi diversi da [0:2pi].
23.05.2019: teorema di inversione di F in S(R), F^2=parita`, unitarieta`, teorema di Riemann-Lebesgue.
29.05.2019 esercitazioni: operatore di dilatazione in L2(R). Esercizio su generatore di gruppo (da 11/09/2013). Calcolo di exp(iS), S Hermitiana 2x2. Integrale in parte principale e lemma del piccolo arco. Int sin(x)/x (impostazione)
03.06.2019: Distribuzioni regolari, approssimanti della delta, derivata e trasformata di Fourier in S'. Identita' di Sokhotski-Plemelj.
05.06.2019 esercitazioni: integrale (sin x)^2/x^2. Norma L_p, esercizi di lim, derivata e F in S'(R).
06.06.2019: derivata log|x| in S', spettro matrice di adiacenza catena 1d, funzione di Green (cenni)

Diario lezioni 2018-19 (corso prof Raciti)


REGISTRO LEZIONI 2018


01.03.2018, Introduzione ai numeri complessi. Il campo C.
05.03.2018, DIDATTICA SOSPESA
07.03.2018, Coniugazione complessa, modulo e proprieta`, forma polare, argomento principale e scelta del taglio, esponenziale e funzioni collegate, equazione ciclotomica.
08.03.2018, Circonferenze e rette. Campo complesso esteso. Mappa lineare e inversione.
12.03.2018. Mappa esponenziale. Mappe di Mobius e gruppo lineare. Mappa da semipiano a disco unitario. Completezza di C.
14.03.2018. Esercitazioni: operazioni di base coi numeri complessi. Potenze non intere. Logaritmi. Zeri di funzioni iperboliche (coshz^2). Esercizio su mappa di inversione e su mappa di Mobius.
15.03.2018. Funzione continua e olomorfa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Funzione intera. Es: z^n, e^z. Curve in C. Significato geometrico di f'.
19.03.2018. Derivate in z e zbar. Ref e Imf sono funzioni armoniche. Elettrostatica 2D: funzione di Green, potenziale complesso, campo elettrico. Filo e semipiano (carica immagine). Integrale complesso. Prima diseguaglianza.
21.03.2018. Esercitazioni: mappa z^2. Applicazione a elettrostatica: filo e semipiano. Esercizi su mappa di Mobius. Esempi di funzioni olomorfe e ricostruzione di Im(f) da Re(f).
22.03.2018. Disuguaglianza di Darboux. Primitiva e teorema della primitiva. Discussione integrale z^n.
26.03.2018. Funzione indice. Teorema di Cauchy sul rettangolo.
28.03.2018. Primitiva nel rettangolo. Teorema e formula di Cauchy nel rettangolo. Teorema della media. Teorema di Liouville.
04.04.2018. Teorema dell'algebra. Trasformata di Cauchy. Infinita derivabilita` delle funzioni olomorfe. Teoremi di Dixon e Morera (enunciati). Serie assolutamente convergente. Prodotto di Cauchy. Serie geometrica, esponenziale.
05.04.2018. Convergenza uniforme e scambio serie-integrale. Serie di potenze. Teorema di Abel Weierstrass. Raggio di convergenza.
09.04.2018. Sviluppo in serie di funzione olomorfa. I polinomi di Hermite (generatrice, parita`, ricorrenza, zeri reali, equazione diff, ortogonalita`).
11.04.2018. Esercitazioni: esempi di integrali di polinomi e trigonometrici con la formula di Cauchy per funzioni intere e olomorfe. Esercizio su serie di funzioni.
12.04.2018. Zeri isolati e unicita` del prolungamento analitico. Cenni alla funzione Gamma.
16.04.2018. Serie di Laurent. Funzione generatrice funzioni di Bessel intere.
18.04.2018. Esercitazioni: Esercizi su serie di potenze (in part. collegate alla serie geometrica). Sviluppi di Laurent. 1/(z^3-1) in diversi domini. Uso di sviluppi noti
19.04.2018. Singolarita' isolate. Classificazione e calcolo dei residui.
23.04.2018. Teorema dei residui. Calcolo di integrali trigonometrici e su asse reale di funzioni con poli semplici complessi.
26.04.2018. Lemma di Jordan. Integrali in parte principale, (sin x)/x, esempio di calcolo di somme con integrale.
02.05.2018. Esercitazioni: Esercizi su serie Log(z). Serie di Laurent e singolarita' essenziale sin(1/z). Integrali di rapporti di polinomi con il metodo dei residui.
03.05.2018. Integrale con taglio. Spazi pre-Hilbertiani. Disuguaglianze di Bessel e di Schwarz. Es: matrici nxn.
07.05.2018. Norma Hilbertiana, proprieta` del parallelogrammo, formula di polarizzazione, operatore unitario, spazi ell^2(C) (completezza e separabilita`), spazi funzionali L^p.
09.05.2018. Esercitazioni: Integrali con funzioni trigonometriche, polinomi su intervallo 0-infinito, log(z), con taglio da potenze e log.
10.05.2018. Complemento ortogonale, somma ortogonale, teorema della proiezione, proiettore.
14.05.2018. Completezza. Teorema di Parseval (enunciato). Esempi di s.o.n.c. e di ortonormalizzazione (Hermite). Esempio di approssimazione (sqrt x con ax+b in L^2(0,1)). Serie di Fourier in (a,b) con esempi.
16.05.2018. Esercitazioni: Serie di Fourier di exp(-ax) e deduzione di somme notevoli. Polinomi di Legendre: sviluppo di 1/|r-R|; generatrice; relazione di ricorrenza (cenni); eq. differenziale risolta da sviluppo in serie; ortonormalizzazione di 1,x,x^2. Approssimazione di cos(x) su [-1,1]. Esempio di integrale con log.
17.05.2018. Operatori lineari limitati e continui. Spazio di Banach B(X,Y). Serie di operatori limitati in B(X).
21.05.2018. Lemma di Riesz. Aggiunto di operatore limitato. Proiettori e operatori unitari. Esempi. Teorema di Stone (enunciato). Spettro continuo (cenni)
23.05.2018. Esercitazioni: Proiettore su un piano in R^3. Gruppo continuo di matrici 2x2 unitarie e generatore. Sviluppi in serie di Fourier e deduzione di somme notevoli: exp(-|x|) su [-pi,pi]; sin(x) su [0,pi]; |x|-x su [-1/2,1/2]. Esempio di integrale con log con diverso cammino
24.05.2018. Lo spazio S(R). La trasformata di Fourier.
28.05.2018. Inversione di Fourier. Estensione Fourier-Plancherel. Operatori Q e P su S(R). Convoluzione. Distribuzioni temperate. Delta di Dirac.
30.05.2018. Esercitazioni: (A|B)=Tr(tAB), esercizio su proiettore. Integrale in parte principale e lemma del piccolo arco. Integrale di (sin(x)/x)^2. Esponenziale di matrice antisimmetrica (da completare
31.05.2018. Equazione di diffusione e kernel del calore. Identita' di Plemelj e Sokhotski.
04.06.2018. Coniugazione complessa, derivata e trasfromata di Fourier in S'. Teorema di Riemann-Lebesgue.
06.06.2018. Esercitazioni: esponenziale di matrice antisimmetrica. Esercizi su limite, derivata, trasformata di Fourier in S'(R). FINE DEL CORSO

DIARIO DELLE LEZIONI 2017-18 (Prof. Raciti)
LEZIONI 1 e 2. Introduzione al corso. Soluzione della cubica e numeri complessi. Il campo complesso, proprieta`. Inverso di un numero complesso, c.c. di un numero complesso. argomento di un numero complesso. formula di de moivre. espressione analitica di Arg(z). exp(z) definizione e proprieta`. cos(z) etc.
LEZIONE 3. Definizione di logz, e delle potenze, razionali reali e complesse. Determinazione principale. Proprieta`. Semplici trasformazioni del piano complesso, traslazioni, dilatazioni, rotazioni e loro combinazioni. Punto fisso. L'inversione w=1/z. L'inversione porta circonferenze in circonferenze. (argomento da completare)
LEZIONI 4 e 5. Completamento argomento sull'inversione. esempio su due rette che diventano due circonf. Tr. di Mobius e loro proprieta`. La proiezione stereografica. (piano complesso compattificato) e sue proprieta` rispetto alle circonferenze e rette nel piano. distanza cordale. Funzione di variabile complessa, derivabilita`, equivalenza con differenziabilita` ed eq. di cauchy-riemann. esempio: exp(z) e` derivabile.
LEZIONI 6 e 7. Esempio di derivazione di Log(z), estensione delle formule di deriviazione del caso reale al caso complesso, e quindi derivazione delle funzioni elementari, sen(z), z^(a), etc. esempio, usando cauchy-riemann di una funzione derivabime solo sulla bisettriuce x=y. le mappe olomorfe sono conformi, descrizione infinitesima, come dilatazione+rotazione. esempio con w=z^2. reticolati ortogonali. Jocobiano di w=f(z) come funzione su R_2. Fatti generali sull'invertibilita` di w=f(z). un paio di teoremi (uno associato elementarmente al teorema della funzione implicita su R_2).
LEZIONE 8. Ripresa con esempi dell'argomento dell'invertibilita` di una f. olomorfa. metodi di an complessa applicati all'elettrostatica. campo e potenziale della carica puntiforme in D=2. Potenziale complesso. introduzione ai problemi con conduttori.
ESERCITAZIONI 1 e 2. Determinazione di f(z) nota la sua parte reale. esercizio su trasf. di Mobious (da un tema d'esame). eserc.: la proiezione stereaografica e` conforme. studio di (exp(z))^a, con a complesso e relazione con exp(az).
LEZIONI 9 e 10. Problemi di elettrostatica via mappe olomorfe. Due esempi: il conduttore che occupa tre quadranti ed il conduttore che occupa un quadrante. Il campo di biot e savar ed il suo potenziale magnetico: la parte immaginaria di log(z) e` la soluzione, taglio del logaritmo e teorema di circuitazione di Ampere. Integrazione complessa, definizioni. cambio d paramatrizza nell'integrale: cambia o no di segno a seconda che cambi o no l' orientazione.
LEZIONE 11. Un esempio di calcolo di integrale complesso. due disuguaglianze sull'integrale complesso. Integrazione della derivata di una funzione olomorfa, e concetto di primitiva. teorema sull'equivalenza dell'esistenza della primitiva e certe proprieta` dell'integrale (annullarsi per i cammini chiusi).
ESERCITAZIONI 3 e 4. Determinazione della TM che porta H in D. Uso per risolvere un problema di elettrostatica: dal potenziale di due semirette isolate a potenziali V_0 e V_1 diversi, al potenziale in un cerchio con un semicerchio a pot. V_0 e l'altro a pot. V_1. Enunciazione teorema di Riemann. Campo elettrico di una barretta carica uniformemente (argomento da completare)
LEZIONI 12 e 13. Funzione indice, definizione e proprieta`. Il teorema di cauchy per cammini rettangoliari (dimostra). applicazione al calcolo dell'integrale gaussiano con parte immaginaria. Enunciazione del teorema per domini rettangolari (la dimostra domani)
LEZIONE 14. Dimostra del teorema per domini rettangolari, formula integrale di cauchy, teorema della media e conseguenza sui massimi di |f(z)|.
ESERCITAZIONI 5 e 6. Campo elettrico complesso generato da una barretta uniformemente carica, discussione dettagliata della determinazioe del logaritmo per una soluzione valida ovunque. Due integrali elementari risolubili usando la formula integrale di cauchy. Calcolo degli integrali di fresnel.
LEZIONI 15 e 16. Rappresentazione integrale della derivata n-esima di una f olomorfa tramite formula integrale di cauchy. Teorema di morera. teorema: le f intere O(z^n) sono i polinomi di grado n. caso n=0 e teorema di liouville, generalizza: se Re(f) e` limitata allora f e` costante. Applicazione: il teorema fondamentale dell'algebra via teorema di liouville. Cenno alla dimostrazione di Artin del teorema di cauchy per domini arbitrari. teorema (ma senza dimostra) sulla derivazione di successioni (serie) di funzioni olomorfe che convergono uniformemente Applicazione: la funzione zita di riemann.
LEZIONE 17. Successioni e serie di numeri complessi, completezza di C; prodotto di cauchy di serie. successioni e serie di funzioni di variabile complessa. convergenza uniforme, criterio di Weiestrass, conv. unif. ed integrazione. Serie di potenze, raggio di convergenza, formula del raggio di convergenza. Qualche esempio. la somma di una serie di potenze e` una funzione olomorfa.
ESERCITAZIONI 7 e 8. Esercizio su formula integrale di cauchy, applicazione del teorema di liouville per ottenere una utile rappresentazione per 1/P(z), dove P e` un polinomio con radici semplici. esercizio sul raggio di conv. di una serie di potenze e prime considerazioni sulla relazione tra raggio di convergenza e posizione delle singolarita` della funzione. Esercizio su prodotto di cauchy di serie (a proposito del calcolo di un'area immagine di un isomorfismo analitico)
LEZIONI 18 e 19. Definizione della serie esponenziale ed uguaglianza con exp(z). Dimostra dello sviluppo di taylor. Discussione della relazione tra raggio di convergenza e posizione delle singolarita` della funzione. in particolare discussione per il Log(z) (da riprendre a esercit.) Esempio ( 1/(1+x^2)= Re(1/(1-iz) con z=x ) in cui si mostra come l'ambito naturale di ambientazione della serie di potenze e` quello complesso). Serie di Laurent, definizione ed esempio. Unicita` della serie di Laurent. Dimostra del relativo teorema di esistenza .
LEZIONE 20. Singolarita` isolate, esempio, classificazione delle singolarita` isolate, enunciato teorema di Picard sul comportamento nell'intorno di una singolarita` essenziale. poli, residuo al polo, teorema dei residui.
LEZIONI 21 e 22. Teorema di caratterizzazione degli zeri di una f olomorfa. concetto di prolungamento analitico. Applicazione: calcolo dell'integrale di exp(-x^2+xz) via prolungamento analitico dal valore dell'integrale per z reale. Definizione della Gamma di Eulero tramite l'integrale euleriano, prolungamento analitico a tutto C come funzione meromorfa. Funzione B(x,y) ed integrale relativo.
LEZIONE 23. Spazi lineari normati, spazi di banach, esempio di C[a,b]. Operatori lineari. nucleo ed immagine, contiunuita` e continuita` nell'origine. Operatori limitati, equivalenza tra continuita` e limitatezza. Norma di un operatore. Definzione di L(X,Y), di B(X,Y) e di B(X) e proprieta` relative
ESERCITAZIONI 9 e 10. Sviluppo di taylor della funzione Log(z) con centro in z=1. raggio di conv.=1. Deduzione dal precedente dello sviluppo con centro in z_0, con Re(z_0) less 0. osservazione del fatto che il raggio di conv. vale |z_0| e non Im(z_0), commenti. Commenti a questo proposito sul prolungamento analitico, e su cosa succede nel caso della serie del log, quando si prolunga facendo un giro attorno all'origine. I polinomi di Hermite, funzione generatrice, regola di ricorrenza, equazione differenziale soddisfatta, Formula di Rodriguez, calcolo dell'integrale di normalizzazione. Alcuni semplici esercizi di determinazione di serie di Laurent e di sviluppi di Taylor.
ESERCITAZIONI 11 e 12. Tecniche di integrazione: integrali tra 0 e 2\pi trasformati in integrali sulla circonferenza unitaria, integrali contenenti tagli affrontati in vari modi. Il lemma di Jordan discusso in relazione alla valutazione dell'integrale di senx/x.
LEZIONI 24 e 25. Dimostra che B(X,Y) e` completo se Y e` completo. Definzione di funzione di operatore partendo da una funzione olomorfa f(z), definizioe di exp(A), sviluppo di Neumann per (1-A)^{-1}. Dimostra che exp(zA)exp(wA)=exp(z+w)A usano il prodotto di cauchy di serie. spazio L^1, quozientazione e spazio lineare. Completezza (teorema di Fisher-Riesz)
LEZIONE 26. spazi L^p, dim. spazi lineari, disugualgianze di Holder e Minkowski (no dimostra), completezza (no dimostra). spazi l(C)^p, norma e completezza (con dimostra). Esercizio su un operatore in l(C)^p, , limitato, invertibile con inverso non limitato.
LEZIONI 27 e 28. Definizione di spazio lineare con prodotto interno. Disuguaglianza di Bessel, disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare della norma. Formula di polarizzazione e uguaglianza del parallelogramma. CNeS affinche` una norma derivi da un prodotto interno (no dim.). esempi di spazi di Hilbert. Nozione di isomorfismo tra spazi di Hilbert. Spazi separabili. Esempio di l^p(C) (no dim.) Processo di ortogonalizzazione . esempi: polinomi di Legendre e polinomi di Hermite.
LEZIONI 29 e 30. Isomorfismo con C^n degli spazi di Hilbert di dimensione n. osservazione sulla contiuita` del prodotto interno rispetto alla norma, (funzionali associati) e sul fatto che la chiusura di un sottospazio linerare e` ancora un sottosp. lin. Complemento ortogonale e sue proprieta`. Il teorema della proiezione con dimostra. Corollari: decomposizione di H in somma ortogonale di un sottospazio e del suo complemento ortog.; relazione tra M ortog ortog. e la chiusura di M. Determinazione della formula della proiezione (per un sottospazio di dimensione finita) risolvendo il problema di minimo.
LEZIONE 31. Sistemi ortonormali completi. coeff. di Fourier, id. di Parseval. Formula per la proiezione su un sottospazio lineare di dimensione anche infinita. lemma di rappresentazione di Rietz (con dimostra)
ESERCITAZIONI 13 e 14. Norma euclidea di una matrice, esposizione generale e esempio numerico. norma dell'operatore di moltiplicazione sulla spazio di Banach delle funzioni continue su un intervalle che si annullano agli estremi. Esempio di sottospazio non chiuso in uno spazio di Banach (quello delle funzioni continue in L^p,) considerazioni sulla necessita`di avere l'integrabilita` secondo Lebesgue per la completezza. Relazione di contenenza tra gli spazi L^p (Q) quando l'inseme Q ha misura finita. Norma dell'operatore di moltiplicazione in L^p(a,b). Non limitatezza dell'operatore di moltiplicazione in L^2(R) e considerazioni di carattere fisico per la meccanica quantistica.
LEZIONI 32 e 33. Definizione dell'aggiunto di un op. limitato A, sua norma e principali proprieta`. Rappresentazione matriciale di op. limitato, e del corrispettivo aggiunto. prop: ker(A) ortog= chiusura R(A+). Proiettori ortogonali, definizione dal teorema della propiezione, idempotenza e autoaggiuntezza, equivalenza della definizione (no dim.), esempi. esercizio: relazione in spazi finito dimensionali tra traccia di un proiettore e la dim del suo range, esercizio sulla rappresentazione matriciale in C^3 di proiettori di traccia 1,2,3. operatori unitari ed isometrici., chiusura del range di un op. isometrico, gli op. isometrici conservano anche il prodotto interno. op. unitari. relazione tra inverso ed aggiunto per gli op. isometrici e per gli op. unitari.
LEZIONE 34. Operatore aggiunto per un operatore non limitato. Principalissime proprieta`. Operatori simmetrici, proprieta`di autovalori e autovettori. Operatori autoaggiunti. esempio discusso in dettaglio: l'operatore di moltiplicazione in L^2(R) e` autoaggiunto.
ESERCITAZIONI 15 e 16. Funzioni di Operatori: esponenzializzazione di una matrice, utilizzo del teorema di H.C. utilizzo del teorema spettrale per una matrice hermitiuana, risoluzione anche nel caso di matrice che non puo` essere diagonalizzata (esempi numerici con matrici 2x2). aggiunto di exp(zA) con z numero complesso e A op. limitato. exp(-iHt) come operatore unitario se H e` autoaggiunto ( e limitato). Teorema di Stone, caso delle traslazioni spaziali in L^2 ed identificazione del momento come generatore.
LEZIONI 35 e 36. Serie trigonometriche. convenzioni. Id. di Parseval .Relazione tra regolarita` della funzione periodica sull'asse reale ed andamento con n dei coeff. di Fourier a_n(f) e b_n(f). Lemma di Riemann. Teorema del Dini, generalizza nel caso esistano i limiti destri e sinistri. Secondo teorema di Fejar per la convergenza in L1 (no dim.), e i suoi due corollari: se una f ha la serie di Fourier nulla allora e` nulla; il sistema di Fourier e` completo in L2. Il sistema dei polinomi e` completo in L2.
LEZIONE 37. Trasformata di Fourier in L1. limitatezza e continuita`. Lemma di Riemann-Lebesgue. Integrale di convoluzione, esistenza e principali proprieta` per le funzioni di L1 (con dimostra). Teorema di inversione (no dimostra). trasformata di F. delle funzioni di hermite.
ESERCITAZIONI 17 e 18. Esempio dettagliato di operatore isometrico ma non unitario (l'operatore di shift in l_2). esempio di sviluppo in serie di fourier per f(x)=x , formula di Parseval e valutazione della serie numerica di 1/n^2. sviluppi in l^2[a,b], s.o.n.c. di funzioni trigonometriche alternativi a quello canonico di Fourier (in riferimento alla corda vibrante con estremi fissi). funzione armonica su un cerchio con una data condizione al contorno sulla circonferenza. generalizzazione del procedimento alla formula integrale di Poisson.
LEZIONI 38 E 39. Relazione tra la trasformate di F di f e di f', entrambe per ipotesi in L1 e generalizza: tanto piu` una funzione e` regolare tanto piu` la sua trasformata va velocemente a zero all'infinito. teorema: le funzioni di Hermite sono un sonc in L2. La trasformata di F. in L2 come operatore unitario. Il teorema di Plancharel (no dim). Lo spazio S(R) delle funzioni a decrescenza rapida. definizione di convergenza. esempi di successioni che convergono o non convergono in S. S e` contenuto negli L_p. Teorema: S e` completo (cenno alla dim.) es. le successioni che convergono in S convergono anche in L2. oss: S e` denso in L2. Teor. F(S) e` contenuto in S, ed e` continuo come operatore da S in S (con dim).
LEZIONE 40. Teorema di inversione per la trasf. di Fourier in S(R) (con dim). Estensione di F a tutto L2 ed identificazione con l'operatore unitario introtto nella lezione precedente. Proprieta` della convoluz. in S(R). (la convoluz. di funzioni di S e` in S).
ESERCITAZIONI 19 E 20. Il teorema di stone ed i due gruppi, V(b), e delle traslazioni T(a). Studio del primo, forte continuita` ed identificazione del suo generatore nell'operatore di moltiplicazione. Unitaria equivalenza dei due gruppi per mezzo della tr. di Fourier, e di conseguenza unitaria equivalenza dei generatori. Identificazione del generatore del gruppo delle traslazioni con l'usuale op. di momento sulle funzioni dello spazio S, delle funz. a decrescenza rapida. soluz. dell'eq. di Schroedinger per la particella libera in una dimensione nello spazio S(R); derivata temporale in quanto derivata rispetto alla norma. Rappresentazione della soluzione come integrale di convoluzione, propagatore per la particella libera. Soluzione in L2 come limite di soluzioni in S(R).
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REGISTRO LEZIONI 2017

06.03.2017: cenni a soluzione eqz. III e IV grado, il campo complesso, coniugazione complessa, modulo, argomento, argomento principale. Esponenziale di un numero complesso.

07.03.2017: la mappa esponenziale, fogli di Riemann, il logaritmo, la mappa quadratica.

10.03.2017: (Esercitazioni) Operazioni di base sui numeri complessi. Potenze non intere. Equazioni di secondo grado. Zeri di funzioni iperboliche (coshz, coshz^2). La mappa di inversione.

13.03.2017: Completezza di C. Derivata e condizioni di Cauchy Riemann. Interpretazione della derivata (mappa conforme). Campo complesso esteso. Sfera di Riemann. Mappa di Mobius e matrici.

14.03.2017: Funzione armonica. Elettrostatica in 2D. Soluzione fondamentale, potenziale complesso e campo elettrico. Soluzione problema filo carico e cilindro coassiali, con mappa di Mobius e carica immagine.

17.03.2017: (Esercitazioni) Mappe di inversione e di Moebius. Mappa di Jukowski. Esempi di funzioni olomorfe.

20.03.2017: Curve e parametrizzazioni. Integrale complesso. Disuguaglianze. Funzione indice.

21.03.2017: Teorema della primitiva. Teorema del rettangolo.

24.03.2017: Primitiva di funzioni olomorfe nel rettangolo. Formula integrale di Cauchy e teorema della media. Trasformata di Fourier della Gaussiana. Integrali di Fresnel. Teorema di Liouville.

27.03.2017: Trasformata di Cauchy. Derivate di funzioni olomorfe. Cenni sulle serie: convergenza assoluta, prodotto di Cauchy. Serie geometrica, esponenziale, Riemann.

28.03.2017: Uniforme convergenza di serie di funzioni. Integrazione per serie. Serie di potenze: teorema di Abel-Weierstrass. Raggio di convergenza.

31.03.2017: (Esercitazioni) Ricostruzione di f olomorfa da Re(f). Serie di potenze (in part. collegate alla serie geometrica). Esempio di integrale trigonometrico. Esempi di prodotto di Cauchy.

03.04.2017: Serie di potenze di funzione olomorfa. Esempi. Gli zeri sono isolati. Funzione generatrice dei polinomi di Hermite e proprieta`.

04.04.2017: Le serie di Laurent. Sviluppo di Laurent di funzione olomorfa. Classificazione delle singolarita` isolate.

07.04.2017: (Esercitazioni) Sviluppi in serie di Laurent. 1/(z^3-1) in diversi domini. 1/sin(z), sottraendo le singolarita'. Esempio di singolarita` essenziale. Uso di sviluppi noti.

10.04.2017: Il teorema dei residui. Calcolo di residui. Esercizi di integrazione.

11.04.2017: Esercizi di integrali complessi (trasformata di Fourier, integrali con taglio).

26.04.2017: Test di autovalutazione.

28.04.2017: Prolungamento analitico e unicita`. Funzione Gamma. Prodotto interno. Identita` parallelogrammo e norma Hilbertiana. Dis. di Schwarz. Lo spazio l^2(C). Spazio separabile.

02.05.2017: Lo spazio di funzioni L^1. Teorema di Fisher-Riesz. Gli spazi di Banach L^p. Lo spazio di Hilbert L^2.

05.05.2017: (Esercitazioni) Integrali in parte principale ed esempi. Teorema del piccolo arco. Integrale sin(x)/x e sin^2(x)/x^2. Area della n-sfera. Mappa di Mobius da H a D. Integrale 1/(1+x^6).

08.05.2017: S.o.n. e Gram-Schmidt (polinomi di Legendre, Hermite), disuguaglianza di Bessel, sottospazio chiuso, distanza da un sottospazio, esistenza e unicita' del punto, teorema della proiezione. Migliore approssimazione di funzione. I polinomi ortogonali soddisfano relazione a 3 termini.

09.05.2017: Sistemi completi. Teorema di Parseval. Isomorfismo unitario. Operatori lineari limitati. Invertibilita`. Norma.

12.05.2017: (Esercitazioni) Integrale sullo spicchio. Matrici con (A|B)=Tr(A^*B). Approssimazione di cos(x) su [-1,1]. Polinomi di Legendre: sviluppo di 1/|r-R|; generatrice; relazione di ricorrenza; eq. differenziale risolta da sviluppo in serie.

15.05.2017: Completezza di B(X,Y). Algebra B(X). Funzioni di operatori. Ker(A) e` chiuso. Esponenziale. Derivata di exp(zA). Somma ortogonale. Teorema di Riesz (autodualita` di H).

16.05.2017: Operatore aggiunto. Proiettori ortogonali

19.05.2017: (Esercitazioni) Esempi di proiettori (su un piano in R^3, funzione caratteristica, parita`, esempio finito-dimensionale). Rotazioni, esponenziale di matrice antisimmetrica 3x3 (da completare).

22.05.2017: Condizione per esistenza dell'aggiunto di operatore non limitato. Operatori unitari, teorema di Stone (enunciato). Rotazioni spaziali e algebra so(3), traslazioni in L^2(R^3).

23.05.2017: Serie di Fourier in [-pi,pi], la funzione x, relazione tra analiticita' e decrescenza coefficienti. Condiz. sufficiente per convergenza puntuale (enunciato).

26.05.2017: (Esercitazioni) Rotazioni in R^3. Operatore di dilatazione in L^2(R). Esercizio su serie di Fourier con regola di Parseval e integrale trigonometrico. Sviluppo di Fourier di exp(-|x|) e deduzione di somme notevoli.

29.05.2017: Cenno alle serie di Fejer e teoremi. Completezza della base trigonometrica in L^2(-pi,pi). Lo spazio S(R): convergenza, completezza. Gli operatori P, Q e F in S(R) sono continui.

30.05.2017: Convoluzione in S(R). Teorema di inversione di F. Relazioni tra Q_0, P_0 e F in S(R).

05.06.2017: (Esercitazioni) Trasformata e convoluzioni di gaussiane e lorenziane. Sviluppo in serie (21/07/2015 es.2).

06.06.2017: (Esercitazioni) Applicazione dello sviluppo in serie di Fourier all'equazione della corda vibrante. Calcolo di exp(iH) con H matrice 2x2 Hermitiana a traccia nulla.

09.06.2017: (Esercitazioni) Sviluppi in serie di Fourier di: |sin(x)| su (0,pi), |x|-x su (-1/2,1/2). Esercizi di integrazione: funz iperboliche, rapporti di polinomi (introducendo log z), cambi di variabile, con taglio.

12.06.2017: Le distribuzioni temperate. Convergenza. Distribuzioni regolari. Delta di Dirac e approssimanti regolari. Theta di Heaviside. Parte principale. Identita` di Sokhotsky Plemelj. Coniugazione complessa e derivata di distribuzione.

13.06.2017: Trasformata di Fourier in S' e proprieta`. Trasformata della delta e della theta. Autofunzioni di Q in S'.

15.06.2017: Trasformata di Fourier in L^1 e L^2. Teorema di Riemann-Lebesgue. Operatore unitario di Fourier-Plancherel. Funzione ritardata dell'oscillatore forzato.



REGISTRO LEZIONI 2016

29.02.2016: soluzione eqz. III e IV grado, campo complesso, coniugazione complessa, modulo, argomento, argomento principale. Esponenziale di un numero complesso.

01.03.2016: inverso di z, moltiplicazione di complessi, potenze intere, funzioni trigonometriche e iperboliche, logaritmo, logaritmo principale, distanza, circonferenza, equazione parametrica.

03.03.2015: Esercitazioni: operazioni sui numeri complessi. Logaritmi e potenze non intere. Zeri di funzioni iperboliche (coshz, coshz^2).

07.03.2016: Le mappe lineare, quadratica, inversione, Moebius.

08.03.2016: Convergenza, completezza di C. Serie e convergenza assoluta. Prodotto di Cauchy. Serie geometrica ed esponenziale.

10.03.2015: Esercitazioni: Esercizi su mappe di Moebius. Visualizzazione di linee Re,Im=cost. Funzioni come mappe: Log(z)

14.03.2016: Continuita', derivata, condizioni di Cauchy-Riemann, regole di derivazione, funzione olomorfa e intera, conservazione degli angoli.

15.03.2016: Integrale complesso, esempi, disuguaglianze. Primitiva e teorema della primitiva.

17.03.2015: Funzione indice. Teorema del rettangolo. Funzione di Green laplaciano 2D, potenziale elettrostatico complesso, campo elettrico.

21.03.2016: Esercitazioni: esempi di funzioni non olomorfe. Trasformata di Fourier della Gaussiana. Integrali di rapporti di polinomi

22.03.2016: Funzioni intere (primitiva, formule di Cauchy, media, teorema di Liouville). Integrali di Fresnel.

31.03.2015: Teorema dell'algebra. Formule di Cauchy per funzioni olomorfe. Convergenza uniforme e serie di integrali. Serie di potenze. Teorema di Abel-Weierstrass. Sviluppo in serie di funzione olomorfa.

04.04.2016: Polinomi di Hermite. Zeri di funzione olomorfa. Serie di Laurent e teorema di Laurent.

05.04.2016: Zeri isolati. Singolarita` isolate e classificazione. Introduzione funzione Gamma.

07.04.2016: Esercitazioni: momenti della Gaussiana. Prodotto di Cauchy di due serie ed esercizi. Calcolo di raggi di convergenza, somma di alcune serie, calcolo dei coefficienti (eg tan(z) con vari metodi). Serie di Laurent: uso di sviluppi noti; 1/sin(z).

11.04.2016: Calcolo dei residui, teorema dei residui. Esempi. Lemma di Jordan.

12.04.2016: Funzione generatrice delle funzioni di Bessel. Esempi di integrali complessi.

14.04.2016: Esercitazioni: esercizi di ripasso su: serie; mappatura di regioni del piano; funzioni olomorfe. Esempi di integrali con il teorema dei residui: trigonometrici, frazioni di polinomi, trasformata di Fourier.

18.04.2016: TEST

21.04.2016: Integrali di funzioni con taglio, integrale in parte principale, integrale (sin x)/x. Unicita` del prolungamento analitico. Funzione Gamma e funzione Beta.

26.04.2016: Cenni a risultati di analisi complessa. Cenni ai quaternioni. Gli spazi L^p sono spazi lineari.

28.04.2016: Esercitazioni: Polinomi di Legendre, relazione di ricorrenza ed equazione differenziale. Esempi di integrali con taglio e di funzioni iperboliche. Integrale 0-inf con log(z).

02.05.2016: Norma L^p. Spazio pre-hilbertiano. Disuguaglianza di Schwarz. Norma Hilbertiana. Esempi spazi di Hilbert. Prodotto di convoluzione in L^1. Trasformata di Fourier in L^1. Teorema di Riemann- Lebesgue. Teorema della convoluzione.

03.05.2016: teorema di inversione della trasformata di Fourier in L^1. Trasformata di F di funzioni di Hermite. Proprieta` del parallelogrammo di norme Hilbertiane, isomorfismo unitario.

05.05.2016: Esercitazioni: Integrale sul piccolo arco. Esempi di uso dell'analisi complessa per soluzione di problemi di elettrostatica con invarianza per traslazione in una dimensione. Fili paralleli. Conduttori, semipiano e quadrante. Filo carico davanti ad un cilindro.

09.05.2016: s.o.n. e ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempio (polinomi Legendre), polinomi ortogonali, proiezione su sottospazio e migliore rappresentazione, serie di Fourier, kernel di Dirichlet.

10.05.2016: Serie di Fourier con seni e coseni. Identita' di Parseval. Esempio. Cenni su fenomeno di Gibbs

12.05.2016: Serie di Fourier (lemma di Riemann, condizione suff per convergenza puntuale, esempi con funzioni di Bessel e problema di Keplero, cenni teoria di Fejer). Operatori continui, limitati, lineari, norma del sup, completezza (cenno).

16.05.2016: Prodotto di operatori limitati e norma. Funzioni di operatori, esponenziale (esempio con matrice e uso del teorema di Cayley - Hamilton). Lemma di Riesz. Operatore aggiunto di operatore limitato.

17.05.2016: Sottospazio chiuso, complemento ortogonale, spettro puntuale e continuo, teorema di Stone. Aggiunto di operatore non limitato.

19.05.2016: Somma ortogonale di sottospazi. Proiettori con esempi. Rotazioni in 3d. Operatori unitari di traslazione e rotazione in L^2(R^3).

23.05.2016: lo spazio di Schwartz, nozioni su trasformata di Fourier e operatori Q e P. Le distribuzioni temperate, distribuzioni regolari, delta e theta, approssimazione della delta con Gaussiane e Lorentziane.

24.05.2016: Distribuzione parte principale di 1/x. Identita' di Plemelj. Derivata e trasformata di Fourier di una distribuzione con esempi.

26.05.2016: Esercitazioni: Esponenziale di matrice antisimmetrica e rotazioni. Esempi di proiettori (parità, finito -dimensionale, con norma della traccia). Dilatazione in L^2(R). Serie di Fourier di Cosh(ax).

31.05.2016: Esercitazioni: Kernel dell'equazione del calore. Esempi di limite e derivata in S'(R)

06.06.2016: Rango e Kernel di operatore limitato e risolubilita` problema Ax=y. La funzione di Green dell'equazione delle onde.

09.06.2016: Esercitazioni: Derivata in S' per distribuzioni da regolarizzare. Trasformata di Fourier in S': theta(x), exp(ix^2). Trasformata e convoluzioni di gaussiane e lorenziane. Esercizi su integrali.

13.06.2016: Esercitazioni: Esercizio su serie di Fourier, identità di Parseval, integraletrigonometrico. Somma e raggi di serie di potenze. Integrale log(1+x^2)/(1+x^2).




REGISTRO LEZIONI 2015


03.03.2015: Equaz. cubica e quartica. Il campo C, coniugazione complessa, modulo e argomento, alcune disuguaglianze, esponenziale.

04.03.2015: Taglio di argomento e logaritmo complesso. Logaritmo principale. Equazioni di retta e circonferenza. Esercizi.

05.03.2015: Funzione complessa di z come mappa. Funzione lineare, quadratica, inversione.

10.03.2015: Mappa di Mobius e SL(2,C). Sfera di Riemann. Completezza di C. Continuita'. Derivabilita' e condizioni di Cauchy-Riemann. Significato geometrico di f'.

17.03.2015: Parametrizzazione di curve. Integrale complesso. Disuguaglianze. Primitiva. Funzione indice.

19.03.2015: Teorema della primitiva. Teorema dei rettangoli.

25.03.2015: Funzioni intere: esistenza della primitiva, formule di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema dell'algebra.

26.03.2015: Formule di Cauchy per funzioni olomorfe. Teorema di Morera (senza dim).

31.03.2015: Convergenza assoluta di serie. Convergenza uniforme di serie di funzioni, criterio M di Weierstrass, integrale di serie, serie di potenze, teorema di Abel-Weierstrass, raggio di convergenza, prodotto di Cauchy, serie di potenze di funzione olomorfa.

09.04.2015: Derivabilita' delle serie. Funzione generatrice dei polinomi di Hermite.

14.04.2015: Zeri isolati e prolungamento analitico di funzione olomorfa, funzione Gamma e Beta, soluzione equazione di Hermite per serie, ortogonalita` polinomi di Hermite. Serie di Laurent e anello di convergenza.

16.04.2015: Teorema di Laurent.

21.04.2015: Singolarita' isolate, residui, calcolo di residui, teorema dei residui.

23.04.2015: Integrali col teorema dei residui.

28.04.2015: Integrali di funzioni con radici e logaritmi. Spazio con prodotto interno. Disuguaglianza di Bessel.

30.04.2015: Disuguaglianza di Schwarz. Norma hilbertiana. Continuita' del prodotto interno. Proprieta' parallelogramma e polarizzazione. Isomorfismo unitario. Esempi di spazi di Hilbert: C^n, l_2(C) (cenni a completezza e separabilita`)

07.05.2015: Gli spazi funzionali L^p. Sottospazio ortogonale. Teorema della proiezione.

12.05.2015: Proiettori ortogonali. Algebra di Banach degli operatori limitati. Esponenziale di un operatore limitato. Cenni su SO(3) e so(3).

13.05.2015: s.o.n.c. Base di Fourier (forma exp e funzioni trigonometriche, kernel di Dirichlet). Lemma di Riemann. Lemma di Riesz. Aggiunto di un operatore limitato.

19.05.2015: Operatore limitato autoaggiunto. Condizione per esistenza dell'aggiunto per operatore non limitato. Esponenziale di operatore. Teorema di Stone. Operatore di trasazione.

21.05.2015: Ortogonalizzazione di G.S., polinomi ortogonali e regola di ricorrenza. Spettro continuo di un operatore limitato.

26.05.2015: Lo spazio di Schwartz. Convergenza. Operatori Q e P. Trasformata di Fourier. Teorema di inversione.

27.05.2015: Proprieta' della trasformata di Fourier. Prodotto di convoluzione. Completezza della base di Hermite. Distribuzioni temperate (convergenza, distribuzioni regolari, delta di Dirac, approssimazioni, derivata).

28.05.2015: Approssimazione con lorentziana, distribuzione parte principale di 1/(x-a), identita` di Plemelj-Sokhotski. Derivata di distribuzione.

04.06.2015: Trasformata di Fourier di distribuzioni (esempi: delta e theta). Trasformata di funzione L_1 e teorema di Riemann-Lebesgue.

09.06.2015: Convoluzione in L_1, operatore di Fourier-Plancherel. Esercizi di riepilogo.


PROGRAMMA SVOLTO NEL 2014

04.03.2014: Equaz. cubica e quartica. Il campo C, coniugazione complessa, modulo e argomento, alcune disuguaglianze, esponenziale e logaritmo.

11.03.2014: successione di Cauchy, completezza di C. Disco aperto, dominio. mappa lineare, z^2 con esempi, 1/z con esempi. La mappa 1/z manda 'cerchi' in 'cerchi'.

14.03.2014: Continuita' e derivata di una funzione complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann.

18.03.2014: Curve nel piano complesso. Significato geometrico della derivata. Integrale complesso. Disuguaglianze (modulo e Darboux). Primitiva di una funzione continua.

21.03.2014: Teorema della primitiva. Funzione indice.

28.03.2014: Teorema del rettangolo per funzioni olomorfe.

01.04.2014: Funzioni intere: primitiva, formula di Cauchy, teorema di Liouville, teorema dell'algebra, integrali di Fresnel.

04.04.2014: Teorema di Cauchy per funzioni olomorfe. Serie di funzioni uniformemente convergenti. Criterio M di Weierstrass. Scambio di serie e integrale.

08.04.2014: Serie di potenze. teorema di Abel-Weierstrass. Sviluppo in serie di funzioni olomorfe.

11.04.2014: Prolungamento analitico. Funzione generatrice polinomi di Hermite

15.04.2014: Serie di Laurent. Teorema di Laurent. funzioni di Bessel a indice intero. Classificazione delle singolarita' isolate.

29.04.2014: Residuo. Regole di calcolo ed esempi. Teorema dei residui. Integrali trigonometrici.

06.05.2014: Lemma di Jordan ed esempi di integrali su R coi residui. Spazio di Hilbert (disug. Schwarz e Bessel. Formula del parallelogrammo e di polarizzazione. Isomorfismo unitario).

09.05.2014: Lo spazio di successioni l^2(C) (completezza e separabilita'). Generalita' sugli spazi di funzioni L^p (Omega).

13.05.2014: Complemento ortogonale. Continuita' prodotto interno. Polinomi ortogonali costruzione primi polinomi di Legendre).

16.05.2014: Teorema della proiezione. Proiettore ortogonale. Cenni sulla funzione Gamma.

20.05.2014: Operatori lineari limitati tra spazi normati. Norma di operatore. Esponenziale di un operatore. Teorema di Riesz.

23.05.2014: Aggiunto di un operatore limitato. Operatore autoaggiunto. Operatori di proiezione e unitari.

27.05.2014: Sistemi ortonormali completi. Identita' di Parseval. Gruppi fortemente continui e terema di Stone. Esempi (traslazioni e rotazioni).

30.05.2014: Serie di Fourier in L^2. Identita' di Parseval. Considerazioni qualitative. Funzione x in [-L/2,L/2], calcolo di zeta(2).

03.06.2014: Serie di Fourier: lemma di Riemann, kernel di Dirichlet, convergenza delle somme parziali. Spazio S(R), convergenza, operatori Q,P,F e F^{-1}. Continuita' di F.

06.06.2014: Trasformata di Fourier su S(R): teorema di inversione (cenno). relazioni tra F,P,Q, unitarieta', prodotto di convoluzione.

10.06.2014: Distribuzioni temperate: convergenza, delta di Dirac e approssimazioni, theta, cenno a parte principale e Sokhotski-Plemelj, distribuzioni regolari, derivata, trasformata di Fourier.

13.06.2014: Trasformata di fourier in L^1(R), teorema di Riemann-Lebesgue. Cenni a Q e P su S'(R) e autofunzioni generalizzate.


PROGRAMMA SVOLTO NEL 2013

04.03.2013: Equaz. cubica e quartica. Il campo C, coniugazione complessa, modulo e argomento, alcune disuguaglianze.

05.03.2013: Esponenziale e funzioni collegate, mappa lineare w=az+b e mappa di inversione w=1/z.

07.03.2013: Mappe e^z, z^2. Sfera di Riemann (cenni). Trasformazione di Mobius.

11.03.2013: Funzione continua e olomorfa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Mappa conforme. Funzione Log z.

12.03.2013: Elettrostatica 2D: soluzione fondamentale. Potenziale complesso, interpretazione, campo elettrico. Potenziale generato da carica su semipiano (filo su semispazio conduttore)

14.03.2013: Curve chiuse, semplici, lisce. Integrale complesso. Esempi. Disuguaglianze. Primitiva.

18.03.2013: Proposizioni equivalenti per integrale su cammino e primitiva. Funzione indice. Teorema di Cauchy per il rettangolo.

19.03.2013: tasformata di Fourier della Gaussiana ed esercizi.

21.03.2013: Funzioni intere: primitiva, teorema e formula di Cauchy, teorema di Liouville, della media, fondamentale dell'algebra.

25.03.2013: Esercizi di integrazione complessa.

26.03.2013: Formule di Cauchy per funzioni olomorfe. Convergenza assoluta di serie. Serie geometrica, esponenziale, di Riemann.

04.04.2013: Convergenza uniforme di serie, Criterio M di Weierstrass, integrazione per serie. Serie di potenze, teorema di Abel-Weierstrass, raggio di convergenza, derivazione di serie (senza dim).

08.04.2013: Esercizi su serie di potenze. Sviluppo in serie di funzione olomorfa.

09.04.2013: Zeri isolati. Prolungamento analitico e unicita'. Funzione Gamma di Eulero.

15.04.2013: Polinomi di Chebyshev, esercizi serie di potenze. Serie di Laurent e teorema di laurent.

16.04.2013: Formula di Stirling. Singolarita' isolate.

18.04.2013: Funzioni di Bessel. Calcolo dei residui. Teorema dei residui.

22.04.2013: Lemma di Jordan. Esercizi di integrazione complessa.

23.04.2013: Esercizi di integrazione complessa (log e potenze).

29.04.2013: Spazi di Hilbert, norma, s.o.n., disuguaglianze di Bessel e di Schwartz, isomorfismo unitario. Integrale in parte principale, esercizi di riepilogo.

30.04.2013: Esercizi di integrazione complessa.

02.05.2013: Continuita' prodotto interno. Isomorfismo unitario tra sp di Hilbert. Spazi L^p. Spazio l^2(C) (completezza e separabilita'). Polinomi ortogonali (I)

07.05.2013: Funzioni di Hermite. Sottospazi e complemento ortogonale.

09.05.2013: Teorema della proiezione. Teorema di Riesz.

13.05.2013: Opereatori limitati, norma, operatore aggiunto. Proiettori. Serie di Fourier e kernel di Dirichlet (I)

14.05.2013: Serie di Fourier (II): kernel di Dirichlet, lemma di Riemann, condizione sufficiente per convergenza puntuale.

16.05.2013: Serie di Fourier (III): base di Fourier in [a,b], fenomeno di Gibbs (cenno), serie di Fejer (cenni), completezza funzioni trigonometriche, esempi.

20.05.2013: Operatori unitari. Esercizi su norma di operatori e proiettori. Esponenziale di operatore limitato.

21.05.2013: gruppo a 1 parametro unitario e teorema di Stone. Traslazioni in R e R^3. matrice di rotazione.

23.05.2013: Gruppo SO(3) e algebra di Lie so(3). Rappresentazioni unitarie e generatori. Lo spazio S(R).

27.05.2013: Operatori Q e P su S(R), Trasformata di Fourier e teorema d'inversione.

28.05.2013: Le distribuzioni temperate, convergenza, distribuzioni regolari, delta e approssimanti, theta.

30.05.2013: Distribuzione Parte principale, identita' di Sockotsky-Plemelj, derivata e trasformata di Fourier di distribuzioni, con esempi.

10.06.2013: Trasformata di Fourier in L^1 e L^2, teorema di Riemann-Lebesgue. Esercizi su distribuzioni..




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