METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2018-19. DIARIO DELLE LEZIONI V 01/03/2019 LEZIONE 2 1 e 2) introduzione al corso. Ricapitolazione numeri complessi. c.c. e modulo. disug. triang. argomento di un numero compl. e notazione esponenziale. Arg. principale. e sua espressione anailitica. un esercizio relativo. exp(z) e sue proprieta`. sen(z) etc. definizione di w=Log(z). come inverso di exp(w) su una striscia. L 04/03/2019 LEZIONE 4 3 e 4) Proprieta` del Log ed eventuali differenze con il log. elementare (Log(z^2) vs 2 Log(z) etc). Arbitrarieta` del "taglio" di discontinuita`. Def. delle potenze complesse e loro proprieta`. Mappe semplici, la mappa lineare w=az+b, proprieta` e significato geometrico. L'inversione w=1/z e sue proprieta` (verifica esplicita), un esempio (esercizio). le tr. di Moebius (appena iniziato). M 05/03/2019 LEZIONE 5 4 e 5) tr. di Moebious, invertibilita`, matrice associata e isomorfismo con il gruppo delle matrici 2x2 quozientato. Decomposizione "canonica" e trasformazioni di circonf. generalizzate in circonf. genearalizzate . La sfera di Riemann e la proiezione stereografica. Il punto all'infinito. immagine sulla sfera di rette e circonf. in C, conservazione degli angoli (solo affermazione). Le funzioni di variabili complessa, continuita`, derivabilita` in un punto. Teorema sull'equivalenza con differenziabilita` ed eq. di C.R. (dim non ancora fatta). L 11/03/2019 LEZIONE 7 6 e 7) dimostra sull'equivalenza con differenziabilita` ed eq. di C.R. dell'essere derivabile. Esempi di funzioni derivabili e non. In particolare exp e Log. mappe olomorfe sono conformi. Interpretazione nell'infinitesimo come dilatazione e rotazione. esempio di w=u+iv=z^2 e di come si costruisce un reticolato ortogonale di iperboli equilatere facendo la controimmagine delle rette u=U e v=V. Lo jacobiiano. invertibilita` locale di una f olomorfa con derivata non nulla. viceversa: se una funzione olomorfa e` invertibile allora ha in ogni punto derivata non nulla. esempi e commenti. confronto con il caso delle funzioni di variabile reale. M 12/03/2019 LEZIONE 8 8) funzioni olomorfe e funzioni armoniche. applicazioni all'elettrostatica con invariianza traslaz. in una dimensione. Campo elettr. e potenz. elettrico complesso di un filo unif. carico. (carica puntiforme in D=2). Una mappa olomorfa risolve problemi. Il caso di due semipiani (semirette) connessi ortogonalmente e tenuti a dato potenziale. soluzione, mediante w=z^2. sup. equipot. linee di forza di E, densita` di carica elettrica. V 15/03/2019 ESERC. 2 ESERCIT. 1 e 2) determinazione di una funzione olomorfa nota la sua parte reale. Esercizio su mappa di Moebius. verifica che la pr. stereografica e` conforme. verifica che la proiezione stereografica porta circonferenze nel piano in circonferenze sulla sfera. L 18/03/2019 LEZIONE 10 9 e 10) un altro esempio sull'elettrostatica (dominio dato dai primi tre quadranti risolto mediante w=z^(2/3). Integrazione; cammini, cammini regolari, regolari a pezzi, chiusi, cambio di paramatrizzazione e di orientazione. I'integrale dipende solo dal sostegno e dall'orientazione. del cammino. Parte interna e parte esterna di un cammino chiuso. Un esempio di calcolo di integrale di cammino. Disuguaglianze utili per l'integrale. L'integrale della derivata di una funzione olomorfa dipende solo dai punti iniziale e finale del cammino, e vale anche il viceversa (teorema della primitiva). M 19/03/2019 LEZIONE 11 11) Funzione indice e sue proprieta`. Il teorema di Cauchy, formulazione e inizio dimostrazione. V 22/03/2019 ESERC. 4 ESERCITAZIONE 3 e 4) determinazione della tr. di Mobius che mappa H in D. Enunciazione teor. Di Riemann. Proposti esercizi. applicazioni all'elettr. in D=2. Potenziale in H dovuto a due semilinee cariche a potenziali differenti. Da qui soluzione all'interno di un cerchio (linee equipotenziali, linee di forza del campo elettrico). Inizio problema del campo elettr. generato da un'astina unif. carica. L 25/03/2019 LEZIONE 13 12 e 13) teorema di cauchy per rettangoli. generalizza quando f non e` olomorfa in un punto (pur essendo continua) applicazione: calcolo dell'integrale guussiano. teorema di cauchy per domini rettangolari. relazione tra teorema di cauchy e formula di stokes. Formula integrale di Cauchy. teorema della media. calcolo di un integrale usando la formula integrale di cauchy. M 26/03/2019 LEZIONE 14 14) teorema sull'esistenzadelle derivate di ogni ordine di f olomorfa e conseguenza sulla sua parte reale ed immaginaria. teorema se f=O(z^n) per z all'infinito allora f e` un polinomio, caso n=0, (teorema di Liouville). Applicazione;: il teorema fondamentale dell'algebra. V 29/03/2019 ESERC. 6 ESERCITAZIONE 5 e 6: campo elettrico generato da una barretta uniformemente carica, descrizione dettagliata in relazione al taglio del logaritmo. deduzione via Liouville della formila per 1/p(z), polinomio con solo radici semplici. Applicazione al calcolo di un integrale ((1/(1+x^6) tra 0 e infinito.) un altro esempio di integrale reale che si trasforma in un integrale sulla circ. unitaria. L 01/04/2019 LEZIONE 16 15 e 16) teorema di Morera. cenno alla dimostrazione di Artin del teorema di cauchy. serie e successioni in C, completezza di C. criterio di Cauchy, convergenza assoluta, prodotto di Cauchy di serie. criteri di convergenza. serie di funzioni, convergenza uniforme, conv. unif. e integrazione. teorema (no dim) per cui una serie di funzioni olomorfe ha limite una funzione olomrfa etc. esempio della funzione zita di riemann. serie di potenze e teorema sulla convergenza in un cerchio (con dim), raggio di convergenza e sua formula (no dim). una serie di potenze definisce una funzione olomrfa nel suo cerchio di conv. verifica che il raggio di conv. della serie delle derivate e` uguale a quello della funzione. M 02/04/2019 LEZIONE 17 17) esempi molto semplici di serie di potenza e calcolo del raggio di convergenza, la serie esponenziale ed identificazione con exp(z) definita in precedenza. Lo sviluppo di taylor di una funzione olomorfa in un disco, esisternza ed unicita`. Discussione della relazione tra posiz. delle singolarita` di una funzione ed il raggio di conv. del suo sviluppo di taylor. V 05/04/2019 ESERC. 8 ESERCITAZIONI 7 E 8. esercizio su jacobiano di una trasf. nel piano associata ad una funzione olomorfa. eserc. su calcolo del raggio di conv. di una serie (e discussione in relazione alla singolarita` piu` prossima). verifica usando la serie esponenziale di exp(z) exp(w)=exp(z+w) (prodotto di cauchy). esercizio su prodotto di cauchy e calcolo di aree. per una mappa olomorfa f che porta il cerchio unitario in un dato insieme (espressione dell'area per mezzo dei coeff. dello sviluppo di taylor di f). L 08/04/2019 LEZIONE 19 18 e 19. ancora un'osservazione sulla "naturalezza" delle serie di potenze in C rispetto a quelle reali. Serie di laurent, definizione ed esempi. integrali di cammino della serie di L. e unicita` della serie.. Terorema sull'esistenza della serie di L. Caso delle singolarita` isolate, caso dei poli, limite infinito sulla singol.; sing. essenziali (es. exp(1/z), teorema di Picard e non esistenza del limite.; singol. eliminabili. contrapposizione per le sing. eliminabili con la situazione analoga per le funzioni di variabile reale. M 09/04/2019 LEZIONE 20 20. Il teorema dei residui e calcolo di un integrale (che si riporta alla circonf. unitaria). V 12/04/2019 ESERC. 10 ESERCITAZIONI 9 e 10. lo sviluppo di taylor del log z con centro in un punto quasiaisi, osservazione che il raggio di convergenza e` sempre la distanza dall'origine e non dipende dalla posizione del taglio. Esercizio su serie di laurent di una funzione. I polinomi di Hermite: funzione generatrice, relazione di ricorrenza, eq. differenziale, integrale di normalizzazione. Il lemma di jordan per l'integrazione complessa ( a proposito dell'integr. di sen(x)/x). L 15/04/2019 LEZIONE 22 21 e 22. caratterizzazione degli zeri di una funzione olomrfa, concetto di prolungamento analitico. semplici esempi. applicazione: il calcolo dell'integrale di exp_-x^2+zx) fatto via prolungamento analitico. La funzione Gamma di Eulero, definizione e suo prolung. analit. a funzione meromorfa su tutto C. un altro esercizio sul prolungamento analitico di una funzione definita attraverso una serie. M 16/04/2019 LEZIONE 23 23. spazi normati e loro proprieta`. spazi di Banach, esempio di C[a,b] con dimostra. operatori lineari, definizione, continuita` limitatezza, ed equivalenza delle due. Estensione di un operatore limitato alla chiusura del suo dominio. Gli spazi L(X,Y) e B(X,Y). L 29/04/2019 LEZIONE 25 24 e 25. norma di un operatore e sue proprieta`: lo spazio B(X,Y) e` uno spazio normato. teorema se Y e completo allora B(X,Y) e` completo (con dimostra). Funzione di operatori, l'inverso se esiste, serie di neumann per l'inverso di (1-A) se A ha norma minore di 1. Gli spazi L^p, dimostra che sono spazi lineari e discussione della quozientazione rispetto alla relazione essere uguali q.o. Lo spazio L_1, dimostrazione della sua completezza (fisher-riesz) M 30/04/2019 LEZIONE 26 26. Disuguaglianze di Holder e Minkowski per L^p (senza dimostra) gli spazi di successioni l^p(C), teorema: sono completi (con dimostra).. esercizio su un operatore su l^p(C), si dimostra che e` limitato e se ne calcola la norma, invertibile ma l'inverso non e` limitato sul suo dominio. V 03/05/2019 ESERC. 12 ESERCITAZIONI 11 e 12. dedicata a strategie di integrazione, integrali trigonometrici che si riducono ad un integrale sul cerchio unitario. il lemma di jodan e la valutazione dell'integrale di senx/x sull'asse reale. integrale di funzioni conteneneti un taglio, esempi che si risolvono in piu` modi. L 06/05/2019 LEZIONE 28 27 e 28. spazi con prodotto interno. disug. di bessel e di schwartz e norma associata ad un prodotti interno. formula di polarizza e identita` del parall. teorema (senza dim) che lo associa al fatto che una norma derivi da un (,). Il (,) e` continuo rispetto alla norma. esempi di spazi di H. di matrici. L^2 e l^2(C). Isomorfismo tra S.H. S.H. separabilita` es. accennato per l^p(C). processo di ortogonalizza es. dei polin. di legendre e delle funzioni di Hermite. es. di sottosp. lin. non chiuso e riflessione sul fatto che le funzioni integr. secondo Riemann non portano a spazi completi con norme integrali. M 07/05/2019 LEZIONE 29 29. tutti gli S.H. di dimensione n sono isomrfi a C^n. la chiusura di un sottospazio lineare e` un sottospazio lineare. Complemento ortogonale e sue proprieta`. Realazione solo parzialmente dimostrata della relazione tra M-ortog-ortog e la chiusura di M. Inizio dimostrazione del teorema della proiezione (il lemma) . (arrivati nel lemma fino alla dimostra dell'esistenza ) V 10/05/2019 LEZIONE 31 30 e 31. Fine dimostra del lemma del teor. proiezione e quindi dimostra del teorema. fine dimostra della relazione tra M-ortog-ortog e la chiusura di M. esempio della costruzione della proiezione nel caso di sottospazio di dimensione finita. sistemi ortonormali e orton. completi, defiinizione di sonc .formula di parseval ed enucleazione formule di "pratico impiego" ,in particolare sviluppabilita` su un sonc di ogni vettore. Spazi di Hilbert separabili e s.o.n.c. (senza dimostra). Inizio operatori su uno spazio di H. proprieta` :il kernel e` chiuso. Funzionali e prodotto interno. lemma di rappr. di Riesz (con dimostra) L 13/05/2019 ESERC. 14 ESERCITAZIONI 13 e 14. Norma euclidea di una matrice: massimo autovalore di A^+A, esempio numerico relativo, relazione con la norma di A in quanto elemento dello spazio hilbertiano delle matrici con tr(A^+A) finita. operatore di moltiplicazione in L^p[a,b], determinazione della sua norma, l'op. di moltiplicazione in L^2[R] non e` limitato, considerazioni relative al caso della meccanica quantistica. Funzioni di operatori limitati, il caso di exp(A), discussione del fatto che exp(A) exp(B)= exp(A+B) solo se gli op. commutano. Relazione di inclusione tra gli spazi L^p(W) nel caso l'insieme W abbia misura finita. M 14/05/2019 LEZIONE 32 32. definizione dell'aggiunto di un operatore limitato . Proprieta` dell'aggiunzione. rappresentazione matriciale di un op. limitato (e rappresentazione del suo aggiunto). relazione : ker(A)ortog=chiusura Ran(A). I proiettori ortogonali, definizione tramite il teorema della proiezione, idempotenza e hermitianita`, equivalenza con l'essere un proiettore (no dim.). V 17/05/2019 LEZIONE 34 33 e 34. esempi di proiettori, i proiettori e le op. algebriche (senza dim.) operatori isometrici ed operatori unitari, uso della id. di polarizza per dimostrare che dalla conservazione della norma segue quella del prodotto interno. U^+U=I eU^+U=I =UU^+ per gli operatori unitari, l'aggiunto estende l'operatore inverso per gli op. isometrici, identificazione per questi ultimi di UU^+ come proiettore sul Range di U. Aggiunto di un operatore non limitato e dominio denso dell'operatore. Primissime proprieta` dell'aggiunzione (e segnalazione di quelle che non sono valide). esempio: dimostrazione che l'op. di moltiplicazione su L^2(R) ammette aggiunto ed e` autoaggiunto. L 20/05/2019 ESERC. 16 ESERCITAZIONI 15 e 16. traccia di un proiettore, proprieta`, traccia di una matrice di proiezione, esercizio numerico nel caso di matrici 3x3. exponzializzazione di matrici, utilizzo del teorema di H.C. soluzione nel caso delle matrici con n autovalori distinti e nel caso di matrici hermitiane. Esempio numerico con una matrice 2x2 (lasciato in alcuni dettagli da completare agli studenti). Calcolo dell'aggiunto di exp(zA) con A limitato su S.H. caso z=it, con t reale: gli op. risultano unitari. enunciazione del teor. di Stone, esempio senza dimostrazioni nel caso delle traslazioni, esempio nel caso dell'op. di moltiplicazione per exp(itx), proposto agli studenti di calcolare nel dettaglio il generatore (lo riprenderemo in seguito). M 21/05/2019 LEZIONE 35 35. Serie di Fourier, introduzione e convenzioni. Il lemma di Riemann. relazione tra regolarita` e andamento con n dei coeff. a_n e b_n. (esercizio relativo proposto agli studenti) Il teorema di Dini, formulazione e commenti, generalizza al caso di funzione con limiti dx e sx. (dimostra ancora da fare) V 24/05/2019 LEZIONE 37 36 e 37. Dimostra teorema del Dini, esempio dello sviluppo di f. della funzione f(x)=x e coerenza con il teorema (anche nella forma generalizzata), identita` di parseval e valutazione della somma della serie di termine 1/n^2. secondo teorema di Fejar e completezza in L^2 del sistema di Fourier. (conv. secondo Cesaro in L^1). Analoghi sviluppi su L^2[a,b] (ottenuti con isomorfismo). La tr. di Fourier, introd. intuitiva. proprieta` elementari di limitatezza e contiuita`della funzione trasformata. Lemma di Riemann-Lebesgue basato sulla densita` delle funzioni a scala. Convoluzione in L_1, proprieta` rispetto alla trasformata. Teorema di inversione (no dimostra). Dimostra che le funzioni di Hermite sono autovettori della trasf. L 27/05/2019 saltata per votazioni M 28/05/2019 LEZIONE 38 38. trasformata di un prodotto di convoluz. T.: le funzioni di Hermite formano un sonc. La trasf. di F. in L^2. Teorema di Plancharel (no dimostra) rapprensentazione dell'operatore unitario di Fourier Plancarel e del suo inverso per mezzo delle funzioni di Hermite. V 31/05/2019 ESERCIT.18 ESERCITAZIONI 17 e 18. calcolo della trasf. di F. di una funzione di L^2 ma non di L^1. Relazione tra regolarita` di una funzione e andamento all'infinito della sua trasformata (analizzato il caso dielle funzioni di L^1 con derivata prima continua e integrabile.). In relazione alle serie trigonometriche: s.o.n.c. di soli seni o di soli coseni (esempio dell' applicazione alla corda vibrante con estremi fissi). Esempio dettagliato di un operatore isometrico ma non unitario (l'operatore di Shift in l^2(C)). un esercizio ulteriore sulle serie di fourier. L 03/06/2019 LEZIONE 40 39 e 40. Spazio S(R) delle funzioni a decrescenza rapida, definizione, convergenza. Teorema di completezza (cenno alla dimostra), inclusione in L^p, se f_n converge in S(R) allora converge anche in L^p. spazio S e tr. di fourier: L'immagne di S e` in S e la trasformata e` un operatore continuo di S in se`. Teorema di inversione (con dimostra): F e` un operatore iniettivo e suriettivo di S in se`; teorema di isomtetria. La trasf. della convoluzione di elementi di S(R) e` in S(R). M 04/06/2019 (*) Brevissima introduzione alle distribuzioni. Definizione dello spazio delle distribuzioni temperate, criterio sufficiente (e necessario) affinche` un funzionale lineare su S(R) sia anche continuo. Distribuzioni regolari, (funzioni a crescita lenta), esempi, l'esponenziale come es. di funzione loc. int. non a crescita lenta, distribuzioni non regolari, la delta di Dirac. Convergenza di successioni di distribuzioni, due successioni che convergono alla delta di Dirac. V 07/06/2019 ESERCIT.20 es. di operatori unitari in l^2(C), esempio di gruppo di operatori unitari in l^2(C) fortemente contnuo, e determinazione del generatore (si tratta dell'evoluzione temporale per l'oscillatore armonico in mecc. quant.) gruppo delle traslazioni in L^2(R), unitaria equivalenza via trasf. di Fouriercon il gruppo unitario che moltiplica per un fattore di fase. unitaria equivalenza del gener. delle traslazioni con l'op. di moltiplicazione, Verifica che su S(R) questo corrisponde all'usuale generatore operatore di momento (cioe` di derivazione) L 10/06/2019 (*) Completezza dello spazio S(R)'. Altri esempi: la parte principale, formula di C.P. Calcolo distribuzionale: c.c. di una distrib. trasformazione per parita`, moltiplicaz. per una funzione a crescenza algebrica infinitamante derivabile e relativa proprieta` della delta di Dirac, xdelta(x)=0. Derivata di una distrib. Derivata della Theta e della delta. Trasformata di Fourier delle distribuz. Trasf. e antitrasf. della delta, relazione di "ortoganilta`" delle autofunzioni dell'operatore di momento. Cenno a eq. differenziali alle distribuzioni, soluzione di f'=0. L'argomento delle lezioni indicate con (*), rivolte agli studenti piu` interessati, e appositamente non numerate, e` fuori dal programma d'esame.