METODI MATEMATICI DELLA FISICA

Indirizzo Generale -- docente prof. L.G.Molinari

Il corso si svolge nel secondo anno della laurea triennale, nel secondo semestre. Consta di 40 ore + 20 di esercitazioni (7 crediti)

Orario a.a. 2009/10: MAR 8:30-10:30, GIO 10:30-11:30, VEN 8:30-10:30, in aula A

Testo: Appunti del prof. Valz Gris, e miei (Vedi capitoli in inglese piu` sotto)

AVVISI:

Tutor: Dr. Stefano Scoleri, stefano.scoleri@unimi.it

Il docente Molinari riceve su appuntamento (luca.molinari@unimi.it)

APPELLI D'ESAME (date degli scritti-gli orali seguono pochi giorni dopo) 23 giu 2010 ore 9:30, 6 lug 2010 ore 14:30, 19 lug 2010 ore 14:30, 9 sett 2010 ore 9:30, 22 sett 2010 ore 14:30 (iscriversi per tempo attraverso il SIFA)

Scritto 23 giu 2010

Scritto 06 lug 2010 Esiti scritto 06 lug 2010

Scritto 19 lug 2010 Esiti scritto 19 lug 2010

Scritto 09 set 2010 Esiti scritto 09 set 2010

Scritto 22 set 2010 Esiti scritto 22 set 2010

Scritto 15 feb 2011 Esiti scritto 15 feb 2011

Programma svolto:

[argomento marginale (non e' argomento d'esame)], richiesta dimostrazione*, >>argomento importante

02.03.2010: [Cenni storici (equaz. cubica e quartica, quaternioni)]. >>Il campo C, coniugazione complessa, modulo e argomento, alcune disuguaglianze.

04.03.2010: Inverso di un numero complesso. C come spazio metrico. Circonferenze e rette in C. [Proiezione stereografica e distanza cordale]. Mappa lineare.

05.03.2010: Mappa di inversione. Trasformazioni di Mobius (gruppo, matrice associata, scomposizione in traslazioni e inversione). Convergenza di successione, >>criterio di Cauchy, >>completezza di C*. Funzioni complesse: continuita`, >>differenziabilita` e >>condizioni di Cauchy Riemann.

09.03.2010: [Derivate in z e z* e condizioni CR].>>Funzione esponenziale e collegate. Mappe z^2, e^z, Jukowski. >>Significato geometrico di f' (dilatazione e rotazione locale) e conservazione angoli*.

11.03.2010: Cammini e curve. >>Integrale di una funzione complessa su una curva (integrale di z^2 su segmento e semicirconferenza).

12.03.2010: >>Disuguaglianze*. >>Primitiva di una funzione continua. Teorema di Cauchy sui rettangoli per funzioni intere*.

16.03.2010: Primitiva di una funzione intera e teorema di Cauchy per cammini chiusi*. >>Funzione indice di un cammino. Formula integrale di Cauchy per funzioni intere*. [Integrale sinx/x].

18.03.2010: [Integrale di Fresnel], esercizi su integrali su cammini chiusi con la funzione indice e la formula di Cauchy. [Scomposizione dell'inverso di un polinomio]

25.03.2010: >>Serie di Laurent e teorema di Laurent*. >>Trasf di Fourier della Gaussiana*. [Polinomi di Hermite].

19.03.2010: Teorema fond algebra, di Liouville*, [di Picard]. >>Funzione log.

23.03.2010: >>Teorema di Cauchy per funz olomorfe. T. di Morera. Serie di funzioni. >>Convergenza uniforme. >>Integrazione di serie. >>Teorema di Abel-Weierstrass*. >>Sviluppo in serie di funzione olomorfa in un disco*.

25.03.2010: >>Raggio di convergenza. >>Serie esponenziale e geometrica. Esercizi su serie di potenze.

30.03.2010: >>Singolarita` isolate. >>Teorema dei residui*. Valutazione di integrali.

08.04.2010: Integrali col metodo dei residui. Lemma di Jordan*.

09.04.2010: >>Spazi di Hilbert. >>Disuguaglianza di Schwarz*, >>norma hilbertiana*. Parallelogramma. >>Isomorfismo e operatori unitari. >> C^n.

13.04.2010: >>Lo spazio di Hilbert \ell^2 (C). Completezza e Separabilita'.

15.04.2010: Somma di serie col metodo dei residui.

16.04.2010: [Spazio di Bargmann], >>Spazi L^1, L^2, L^\infty. >>Esistenza e unicita' della proiezione. >>Teorema della proiezione*. [Funzione generatrice di Bessel]

20.04.2010: >>Isomorfismo con \ell^2(C). >>Operatori lineari limitati. >>Norma. >>Proiettori.

22.04.2010: Zeri isolati di funzioni analitiche. >>Prolungamento analitico e unicita`. Gamma di Eulero.

23.04.2010: >>Autodualita` di uno spazio di Hilbert (teorema di Riesz). >>Operatore aggiunto. >>Proiettori, >>op unitari. Operatore proiezione associato a un intervallo. Parita`. [Traslazione]. Teorema di Stone (enunciato).

27.04.2010: >>Base e serie di Fourier in L^2[a,b]. Nucleo di Dirichlet e condizioni di Dini. Lemma di Riemann. [Esempi e fenomeno di Gibbs]. Successione di Fejer.

29.04.2010: Base di Fourier e uguaglianza di Parseval. [Calcolo di zeta(2)]. [Zeta di Riemann e numeri primi].

30.04.2010: Lo spazio HxH. Grafo di un operatore. Grafo operatore inverso, chiuso e aggiunto. Somma di proiettori.

04.05.2010: >>Operatore simmetrico e autoaggiunto. >>Realta` autovalori propri per op. simm e autoagg e ortogonalita` autovettori. >>Lo spazio S. Topologia delle seminorme. >>Definizione di S'.

06.05.2010: Somma di proiettori. Esercizi: Serie di Laurent.

07.05.2010: S e` in L^p. >>La trasformata di Fourier mappa S in S. >>Teorema di inversione. [Trasf Fourier di funzioni di Hermite].

11.05.2010: >>Convoluzione in S(R) e teorema di convoluzione. Relazioni tra Q,P,F. [Equazione e nucleo del calore]. >>Distribuzioni temperate. >>Distribuzioni regolari. >>Delta di Dirac, >>theta di Heaviside, >>parte principale di 1/(x-a). >>Formule di Plemelj-Sokhotski.

13.05.2010: Esercizi su convoluzione e trasformata di Fourier.

14.05.2010: >>Derivata di una distribuzione. Trasformata di Fourier di funzioni di Hermite. Trasformata F in L^1, >>teorema di Riemann Lebesgue*. >>Teorema di Plancherel (trasf di F in L^2).

18.05.2010: >>Trasformata di Fourier di una distribuzione. [Funzione di Green (esempio: -d^2+a^2)]. [Famiglia spettrale di proiettori e realizzazione in L^2.]

20.05.2010: Esercizi di integrazione complessa.

25.05.2010: Esercizi su serie di Fourier, raggio di convergenza di serie, lemma di Jordan.

27.05.2010: La trasformata di Laplace, analiticita`, inversione, convoluzione.

25.05.2010: Esercizi su serie di potenze, integrazione attorno a un taglio (Gamma in rappr di Hankel).